Movimentação Média Modelo Estacionária

Onde a variável aleatória é chamada de inovação porque representa a parte da variável observada que é imprevisível dados os valores passados. O modelo geral 4 4 assume que é a saída de um filtro linear que transforma As inovações passadas, isto é, é um processo linear. Esta suposição de linearidade é baseada no teorema Wold 1938 da decomposição de Wold que diz que qualquer processo discreto de covariância estacionária pode ser expresso como a soma de dois processos não correlacionados. O que é puramente determinista e é um Processo puramente indeterminista que pode ser escrito como uma soma linear do processo de inovação. Onde está uma seqüência de variáveis ​​aleatórias serialmente não correlacionadas com média zero e variância comum A condição é necessária para a estacionariedade. A formulação 4 4 é uma reparametrização finita da representação infinita 4 5 - 4 6 com constante É geralmente escrito em termos do operador de intervalo definido por, que dá uma expressão mais curta. w Para evitar a redundância de parâmetros, assumimos que não existem fatores comuns entre os componentes e os componentes. A seguir, estudaremos o enredo de algumas séries temporais geradas por estações estacionárias de polinômios Modelos com o objetivo de determinar os principais padrões de sua evolução temporal. A Figura 4 2 inclui duas séries geradas a partir dos seguintes processos estacionários calculados por meio do quantlet genarma. Figura 4 2 Séries cronológicas geradas por modelos. Como esperado, ambas as séries temporais se movimentam Um nível constante sem alterações na variância devido à propriedade estacionária. Além disso, este nível está próximo da média teórica do processo, ea distância de cada ponto para este valor é muito raramente fora dos limites. Além disso, a evolução da série mostra Partidas locais da média do processo, que é conhecido como o comportamento de reversão médio que caracteriza as séries temporais estacionárias. Vamos estudar Com um pouco de detalhe as propriedades dos diferentes processos, em particular, a função de autocovariância que capta as propriedades dinâmicas de um processo estocástico estacionário Esta função depende das unidades de medida, de modo que a medida usual do grau de linearidade entre variáveis ​​é o coeficiente de correlação No caso de processos estacionários, o coeficiente de autocorrelação a lag, denotado por, é definido como a correlação entre e. Assim, a função de autocorrelação ACF é a função de autocovariância padronizada pela variância. As propriedades da ACF são. Dada a propriedade de simetria 4 10, o ACF é geralmente representado por meio de um gráfico de barras no desfasamento não negativo que é chamado de correlogram simples. Outra ferramenta útil para descrever a dinâmica de um processo estacionário é a função de autocorrelação parcial PACF O coeficiente de autocorrelação parcial em lag mede o linear Associação entre e ajustado para os efeitos dos valores intermediários Portanto, É apenas o coeficiente no modelo de regressão linear. As propriedades do PACF são equivalentes às do ACF 4 8 - 4 10 e é fácil provar que Box e Jenkins 1976 Tal como o ACF, a função de autocorrelação parcial não depende Sobre as unidades de medida e é representado por meio de um gráfico de barras nos retornos não negativos que é chamado correlogram parcial. As propriedades dinâmicas de cada modelo estacionário determinam uma forma particular dos correlogramms Além disso, pode-se mostrar que, para qualquer estacionário Processo, ambas as funções, ACF e PACF, abordagem para zero como o atraso tende a infinito Os modelos não são sempre processos estacionários, por isso é necessário primeiro determinar as condições de estacionaridade Existem subclasses de modelos que têm propriedades especiais por isso vamos estudar Assim, quando e, é um processo de ruído branco quando, é um processo de ordem pura e móvel de ordem, e quando se trata de um processo autoregressivo puro de ordem.4 2 1 White Noise Proce Ss. O modelo mais simples é um processo de ruído branco, onde é uma seqüência de variáveis ​​médias zero não correlacionadas com variância constante É denotado por Este processo é estacionário se sua variância é finita, uma vez que verifica que as condições 4 1 - 4 3 Além disso , É não correlacionada ao longo do tempo, de modo que sua função de autocovariância é. A Figura 4 7 mostra duas séries temporais simuladas geradas a partir de processos com média zero e -0 7, respectivamente O parâmetro autorregressivo mede a persistência de eventos passados ​​nos valores atuais Por exemplo, Se, um choque positivo ou negativo afeta positivamente ou negativamente por um período de tempo que é maior quanto maior o valor de Quando, a série se move mais rudemente em torno da média devido à alternância na direção do efeito de, ou seja, um Choque que afeta positivamente no momento, tem efeitos negativos sobre, positivo in. O processo é sempre invertible e é parado quando o parâmetro do modelo é obrigado a mentir na região Para Provar a condição estacionária, primeiro escrevemos a na forma de média móvel por substituição recursiva em 4 14.Figura 4 8 Correlatógrafos populacionais para processos. Isto é, é uma soma ponderada de inovações passadas Os pesos dependem do valor do parâmetro quando , Ou, a influência de uma determinada inovação aumenta ou diminui através do tempo Tomando expectativas para 4 15, a fim de calcular a média do processo, obtemos. Dado que, o resultado é uma soma de termos infinitos que converge para todo o valor de apenas Se, caso em que Um problema semelhante aparece quando se calcula o segundo momento A prova pode ser simplificada assumindo que, ou seja, Então, a variância é. Again, a variância vai para o infinito, exceto para, em que caso É fácil verificar que Tanto a média quanto a variância explodem quando essa condição não se mantém. A função de autocovariância de um processo estacionário é. Portanto, a função de autocorrelação para o modelo estacionário é. Isto é, o correlograma mostra um decaimento exponencial Com valores positivos sempre se for positivo e com oscilações negativas positivas se for negativo ver figura 4 8 Além disso, a taxa de decadência diminui à medida que aumenta, portanto quanto maior o valor da mais forte a correlação dinâmica no processo Finalmente, há um corte Na função de autocorrelação parcial no primeiro lag. Figura 4 9 Correlatógrafos populacionais para processos. Pode-se mostrar que o processo geral Box e Jenkins 1976.Is estacionário apenas se as raízes da equação característica do polinómio estão fora do círculo unitário The Média de um modelo estacionário is. Is sempre invertible para quaisquer valores dos parâmetros. Seu ACF vai para zero exponencialmente quando as raízes de são reais ou com flutuações de onda seno-coseno quando eles são complexos. Seu PACF tem um corte no lag, Que é. Alguns exemplos de correlogrammos para modelos mais complexos, como o, pode ser visto na figura 4 9 Eles são muito semelhantes aos padrões quando os processos têm raízes reais, mas tomar um s muito diferente Hape quando as raízes são complexas ver o primeiro par de gráficos da figura 4 9.4 2 4 Modelo de média móvel auto-regressivo. O modelo de média móvel autorregressiva geral de ordem finita de ordens, é. Modelos de suavização média e exponencial. Movendo-se além de modelos de média, modelos de caminhada aleatória e modelos de tendência linear, padrões e tendências não sazonais podem ser extrapolados usando uma média móvel ou modelo de suavização A suposição básica por trás de modelos de média e suavização é que a série temporal é estacionária localmente com uma média lentamente variável Assim, tomamos uma média local móvel para estimar o valor atual da média e então usamos isso como a previsão para o futuro próximo. Isto pode ser considerado como um compromisso entre o modelo médio e o modelo randômico sem caminhada. A mesma estratégia pode ser usada para estimar e extrapolar uma tendência local. Uma média móvel é muitas vezes chamada de versão suavizada da série original, porque a média de curto prazo tem o efeito de smoothin G para fora os solavancos na série original Ajustando o grau de suavização da largura da média móvel, podemos esperar para atingir algum tipo de equilíbrio ideal entre o desempenho da média e aleatória andar modelos O tipo mais simples de modelo de média é o. Média Móvel Simples ponderada igualmente. A previsão para o valor de Y no tempo t 1 que é feita no tempo t é igual à média simples das observações m mais recentes. Aqui e noutros locais, usarei o símbolo Y-hat para representar uma previsão da série de tempo Y feita na data anterior o mais cedo possível por um determinado modelo. Esta média é centrada no período t m 1 2, o que implica que a estimativa de A média local tenderá a ficar aquém do verdadeiro valor da média local em cerca de m 1 2 períodos Assim, dizemos que a idade média dos dados na média móvel simples é m 1 2 em relação ao período para o qual a previsão é calculada Por exemplo, se estiver a calcular a média dos últimos 5 valores, as previsões serão cerca de 3 períodos de atraso na resposta a pontos de viragem. Note que se m 1, O modelo SMA de média móvel simples é equivalente ao modelo de caminhada aleatória sem crescimento Se m é muito grande comparável ao comprimento do período de estimação, o modelo SMA é equivalente ao modelo médio Como com qualquer parâmetro de um modelo de previsão, é costume Para ajustar o valor de ki A fim de obter o melhor ajuste para os dados, ou seja, os erros de previsão menor em média. Aqui está um exemplo de uma série que parece apresentar flutuações aleatórias em torno de uma média de variação lenta Primeiro, vamos tentar ajustá-lo com uma caminhada aleatória , O que equivale a uma média móvel simples de um termo. O modelo de caminhada aleatória responde muito rapidamente às mudanças na série, mas ao fazê-lo escolhe grande parte do ruído nos dados as flutuações aleatórias, bem como o sinal local Média Se nós preferirmos tentar uma média móvel simples de 5 termos, obtemos um conjunto de previsões mais suaves. A média móvel simples de 5 períodos produz erros significativamente menores do que o modelo de caminhada aleatória neste caso. A idade média dos dados neste Por exemplo, uma desaceleração parece ter ocorrido no período 21, mas as previsões não virem até vários períodos mais tarde. Observe que a tendência de longo prazo, Previsões de longo prazo da SMA mod Assim, o modelo SMA assume que não há tendência nos dados. No entanto, enquanto as previsões a partir do modelo de caminhada aleatória são simplesmente iguais ao último valor observado, as previsões de O modelo SMA é igual a uma média ponderada dos valores recentes. Os limites de confiança calculados pela Statgraphics para as previsões de longo prazo da média móvel simples não se alargam à medida que aumenta o horizonte de previsão. A teoria estatística que nos diz como os intervalos de confiança deve ampliar para este modelo. No entanto, não é muito difícil calcular estimativas empíricas dos limites de confiança para as previsões de horizonte mais longo. Por exemplo, você poderia configurar uma planilha em que o modelo SMA Seria usado para prever 2 passos à frente, 3 passos à frente, etc dentro da amostra de dados históricos Você poderia então calcular os desvios-padrão da amostra dos erros em cada previsão h E, em seguida, construir intervalos de confiança para previsões de longo prazo, adicionando e subtraindo múltiplos do desvio padrão apropriado. Se tentarmos uma média móvel simples de 9 termos, obteremos previsões ainda mais suaves e mais de um efeito retardado. A idade média é Agora 5 períodos 9 1 2 Se tomarmos uma média móvel de 19-termo, a idade média aumenta para 10.Notice que, de fato, as previsões estão agora atrasados ​​por pontos de viragem por cerca de 10 períodos. Qual quantidade de suavização é melhor para esta série Aqui está uma tabela que compara suas estatísticas de erro, incluindo também uma média de três termos. O modelo C, a média móvel de 5 períodos, produz o menor valor de RMSE por uma pequena margem sobre as médias de 3 e 9 prazos e Suas outras estatísticas são quase idênticas Assim, entre os modelos com estatísticas de erro muito semelhantes, podemos escolher se preferiríamos um pouco mais de resposta ou um pouco mais de suavidade nas previsões. Voltar ao topo da página. O modelo de média móvel simples descrito acima tem a propriedade indesejável de tratar as últimas k observações igualmente e ignora completamente todas as observações precedentes Intuitivamente, os dados passados ​​devem ser descontados de forma mais gradual - por exemplo, a observação mais recente deve Obter um pouco mais de peso do que o segundo mais recente, eo segundo mais recente deve ter um pouco mais de peso do que o terceiro mais recente, e assim por diante O simples exponencial suavização SES modelo realiza this. Let denotar uma constante de alisamento um número entre 0 e 1 Uma maneira de escrever o modelo é definir uma série L que represente o nível atual ie valor médio local da série como estimado a partir de dados até o presente O valor de L no tempo t é computado recursivamente a partir de seu próprio valor anterior como este. Deste modo, o valor suavizado actual é uma interpolação entre o valor suavizado anterior e a observação corrente, onde controla a proximidade do valor interpolado para o máximo A previsão para o próximo período é simplesmente o valor suavizado atual. De forma semelhante, podemos expressar a próxima previsão diretamente em termos de previsões anteriores e observações anteriores, em qualquer uma das seguintes versões equivalentes. Na primeira versão, a previsão é uma interpolação Entre a previsão anterior ea observação anterior. Na segunda versão, a próxima previsão é obtida ajustando a previsão anterior na direção do erro anterior por uma quantidade fracionada. É o erro feito no tempo t Na terceira versão, a previsão é um Ponderada exponencialmente a média móvel descontada com o fator de desconto 1. A versão de interpolação da fórmula de previsão é a mais simples de usar se você estiver implementando o modelo em uma planilha, ela se encaixa em uma única célula e contém referências de células que apontam para a previsão anterior Observação e a célula onde o valor de é armazenado. Note que se 1, o modelo SES é equivalente a um modelo de caminhada aleatória Hout growth Se 0, o modelo SES é equivalente ao modelo médio, assumindo que o primeiro valor suavizado é definido igual à média Retornar ao início da página. A idade média dos dados na previsão de suavização exponencial simples é 1 relativa Para o período para o qual a previsão é calculada Isto não é suposto ser óbvio, mas pode facilmente ser mostrado avaliando uma série infinita Por isso, a média móvel simples tende a ficar para trás de pontos de viragem por cerca de 1 períodos Por exemplo, quando 0 5 o atraso é 2 períodos em que 0 2 o atraso é de 5 períodos quando 0 1 o atraso é de 10 períodos, e assim por diante. Para uma dada idade média ou seja, a quantidade de atraso, a simples suavização exponencial SES previsão é um pouco superior ao movimento simples Média de SMA, porque ele coloca relativamente mais peso sobre a observação mais recente - é um pouco mais sensível às mudanças ocorridas no passado recente Por exemplo, um modelo SMA com 9 termos e um modelo SES com 0 2 ambos têm uma idade média De 5 para o da Ta nas suas previsões, mas o modelo SES põe mais peso nos últimos 3 valores do que o modelo SMA e, ao mesmo tempo, não esquece completamente valores superiores a 9 períodos, como mostrado neste gráfico. Outra vantagem importante de O modelo SES sobre o modelo SMA é que o modelo SES usa um parâmetro de suavização que é continuamente variável, de modo que pode ser facilmente otimizado usando um algoritmo de solução para minimizar o erro quadrático médio. O valor ótimo do modelo SES para esta série resulta Para ser 0 2961, como mostrado aqui. A idade média dos dados nessa previsão é de 1 0 2961 3 4 períodos, que é semelhante ao de uma média móvel simples de 6-termo. As previsões de longo prazo do modelo SES são Uma linha reta horizontal como no modelo SMA eo modelo de caminhada aleatória sem crescimento. No entanto, note que os intervalos de confiança calculados por Statgraphics agora divergem de uma forma razoável e que são substancialmente mais estreitos do que os intervalos de confiança para a rand Om modelo de caminhada O modelo SES assume que a série é um pouco mais previsível do que o modelo de caminhada aleatória. Um modelo SES é realmente um caso especial de um modelo ARIMA assim que a teoria estatística de modelos ARIMA fornece uma base sólida para o cálculo de intervalos de confiança para o Modelo SES Em particular, um modelo SES é um modelo ARIMA com uma diferença não sazonal, um termo MA 1 e nenhum termo constante conhecido como modelo ARIMA 0,1,1 sem constante O coeficiente MA 1 no modelo ARIMA corresponde ao modelo ARIMA Quantidade 1- no modelo SES Por exemplo, se você ajustar um modelo ARIMA 0,1,1 sem constante à série aqui analisada, o coeficiente MA 1 estimado será 0 7029, que é quase exatamente um menos 0 2961. É possível adicionar a hipótese de uma tendência linear constante não-zero para um modelo SES. Para isso, basta especificar um modelo ARIMA com uma diferença não sazonal e um termo MA 1 com uma constante, ou seja, um modelo ARIMA 0,1,1 As previsões a longo prazo serão Em seguida, ter uma tendência que é igual à tendência média observada durante todo o período de estimação Você não pode fazer isso em conjunto com o ajuste sazonal, porque as opções de ajuste sazonal são desativadas quando o tipo de modelo é definido como ARIMA No entanto, você pode adicionar uma constante longo - tendência exponencial a um modelo de suavização exponencial simples com ou sem ajuste sazonal usando a opção de ajuste de inflação no Procedimento de Previsão A taxa de crescimento de porcentagem de inflação apropriada por período pode ser estimada como o coeficiente de declive em um modelo de tendência linear ajustado aos dados em Em conjunto com uma transformação logarítmica natural, ou pode ser baseada em outras informações independentes sobre as perspectivas de crescimento a longo prazo. Os modelos SMA e SES assumem que não há tendência de Qualquer tipo nos dados que é normalmente OK ou pelo menos não-muito ruim para 1-passo-frente previsões quando os dados é relativamente noi Sy, e eles podem ser modificados para incorporar uma tendência linear constante como mostrado acima O que sobre as tendências de curto prazo Se uma série exibe uma taxa variável de crescimento ou um padrão cíclico que se destaca claramente contra o ruído, e se há uma necessidade de Previsão de mais de um período à frente, então a estimação de uma tendência local também pode ser um problema O modelo de suavização exponencial simples pode ser generalizado para obter um modelo linear de suavização exponencial LES que calcula estimativas locais de nível e tendência. A tendência mais simples variando no tempo Modelo é o modelo de suavização exponencial linear de Brown, que usa duas séries suavizadas diferentes que são centradas em diferentes pontos no tempo. A fórmula de previsão é baseada em uma extrapolação de uma linha através dos dois centros. Uma versão mais sofisticada deste modelo, Holt s, é Discutida abaixo. A forma algébrica do modelo de suavização exponencial linear de Brown, como a do modelo de suavização exponencial simples, pode ser expressa em um número diferente de Formas quivalentes A forma padrão deste modelo é usualmente expressa da seguinte forma: S S representa a série suavizada individualmente obtida pela aplicação de suavização exponencial simples à série Y. Ou seja, o valor de S no período t é dado por. Lembre-se que, sob simples alisamento exponencial, esta seria a previsão para Y no período t 1 Então, S indicam a série duplamente suavizada obtida pela aplicação de suavização exponencial simples usando o mesmo para a série S. Finalmente, a previsão para Y tk para qualquer K 1, é dado por. Isto produz e 1 0 ie trar um pouco e deixar a primeira previsão igual à primeira observação real e e 2 Y 2 Y 1 após o qual as previsões são geradas usando a equação acima Isto produz os mesmos valores ajustados Como a fórmula baseada em S e S se este último foi iniciado usando S 1 S 1 Y 1 Esta versão do modelo é usada na próxima página que ilustra uma combinação de suavização exponencial com ajuste sazonal. Holt s Linear Exponencial Smoothing. Brown O modelo LES calcula as estimativas locais de nível e tendência ao suavizar os dados recentes, mas o fato de que ele faz isso com um único parâmetro de suavização coloca uma restrição nos padrões de dados que é capaz de se ajustar ao nível e tendência não é permitido variar Em Taxas independentes Holt s LES modelo aborda esta questão, incluindo duas constantes de alisamento, um para o nível e um para a tendência Em qualquer momento t, como no modelo de Brown s, existe uma estimativa L t do nível local e uma estimativa T T da tendência local Aqui eles são computados recursivamente a partir do valor de Y observado no tempo t e as estimativas anteriores do nível e tendência por duas equações que aplicam alisamento exponencial para eles separadamente. Se o nível estimado e tendência no tempo t-1 São L t 1 e T t-1 respectivamente, então a previsão para Y t que teria sido feita no tempo t-1 é igual a L t-1 T t-1 Quando o valor real é observado, a estimativa atualizada do É calculado recursivamente pela interpolação entre Y t e sua previsão, L t-1 T t-1, usando pesos de e 1. A mudança no nível estimado, ou seja, L t L t 1 pode ser interpretada como uma medida ruidosa do Tendência no tempo t A estimativa actualizada da tendência é então calculada recursivamente pela interpolação entre L T L t 1 ea estimativa anterior da tendência, T t-1 usando pesos de e 1. A interpretação da constante tendência-alisamento é análoga à da constante de alisamento de nível Os modelos com valores pequenos assumem que a tendência muda Apenas muito lentamente ao longo do tempo, enquanto modelos com maior assumem que está mudando mais rapidamente Um modelo com um grande acredita que o futuro distante é muito incerto, porque os erros na estimativa de tendência tornam-se bastante importantes quando a previsão mais de um período adiante Voltar ao topo Da página. As constantes de suavização e podem ser estimadas da maneira usual, minimizando o erro quadrático médio das previsões de 1 passo. Quando isso é feito em Statgraphics, as estimativas são 0 3048 e 0 008 O valor muito pequeno de Significa que o modelo assume muito pouca mudança na tendência de um período para o outro, então basicamente este modelo está tentando estimar uma tendência de longo prazo Por analogia com a noção de idade média dos dados que é usada na estimativa de t Ao nível local da série, a idade média dos dados que é utilizada na estimativa da tendência local é proporcional a 1, embora não exatamente igual a ela. Neste caso, que se revela ser 1 0 006 125 Este não é um número muito preciso Na medida em que a precisão da estimativa não é realmente 3 casas decimais, mas é da mesma ordem geral de magnitude que o tamanho da amostra de 100, por isso este modelo está em média bastante história na estimativa da tendência O gráfico de previsão Abaixo mostra que o modelo LES estima uma tendência local ligeiramente maior no final da série do que a tendência constante estimada no modelo de tendência SES Também, o valor estimado de é quase idêntico ao obtido pela montagem do modelo SES com ou sem tendência , Então este é quase o mesmo modelo. Agora, eles parecem previsões razoáveis ​​para um modelo que é suposto ser a estimativa de uma tendência local Se você olho este gráfico, parece que a tendência local virou para baixo no final do Série Wh At has happened Os parâmetros deste modelo foram estimados minimizando o erro quadrado das previsões de 1 passo, e não as previsões de longo prazo, caso em que a tendência não faz muita diferença Se tudo o que você está olhando são 1 - passar-frente erros, você não está vendo a imagem maior de tendências, digamos 10 ou 20 períodos Para obter este modelo mais em sintonia com a nossa extrapolação do globo ocular dos dados, podemos ajustar manualmente a tendência de suavização constante para que ele Usa uma linha de base mais curta para estimativa de tendência. Por exemplo, se escolhemos definir 0 1, a idade média dos dados usados ​​na estimativa da tendência local é de 10 períodos, o que significa que estamos fazendo a média da tendência ao longo dos últimos 20 períodos Aqui está o que o gráfico de previsão parece se definimos 0 1 mantendo 0 3 Isto parece intuitivamente razoável para esta série, embora seja provavelmente perigoso extrapolar esta tendência mais do que 10 períodos no futuro. O que sobre as estatísticas de erro Aqui está Uma comparação de modelos f Ou os dois modelos mostrados acima, bem como três modelos SES O valor ideal do modelo SES é aproximadamente 0 3, mas resultados semelhantes com ligeiramente mais ou menos responsividade, respectivamente, são obtidos com 0 5 e 0 2. Um Holt s linear exp suavização Com alfa 0 3048 e beta 0 008. B Holt linear alisamento exp com alfa 0 3 e beta 0 1. C Alisamento exponencial simples com alfa 0 5. D Alisamento exponencial simples com alfa 0 3. E Alisamento exponencial simples com alfa 0 2 . Suas estatísticas são quase idênticas, então realmente não podemos fazer a escolha com base em erros de previsão de 1 passo na amostra de dados. Nós temos que recair sobre outras considerações Se acreditamos firmemente que faz sentido basear a corrente Estimativa da tendência sobre o que aconteceu ao longo dos últimos 20 períodos ou assim, podemos fazer um caso para o modelo LES com 0 3 e 0 1 Se queremos ser agnóstico sobre se há uma tendência local, então um dos modelos SES pode Ser mais fácil de explicar e dar também mais As previsões empíricas sugerem que, se os dados já tiverem sido ajustados se necessário para a inflação, então Pode ser imprudente extrapolar as tendências lineares de curto prazo muito para o futuro Tendências evidentes hoje podem afrouxar no futuro devido a causas variadas como a obsolescência do produto, o aumento da concorrência e desacelerações ou retornos cíclicos em uma indústria Por esta razão, A suavização geralmente desempenha melhor fora da amostra do que seria de esperar, apesar da sua extrapolação de tendência horizontal ingênua modificações de tendência de amortecimento do modelo de suavização linear exponencial também são frequentemente utilizados na prática para introduzir uma nota de conservadorismo em suas projeções de tendência A tendência de amortecimento O modelo LES pode ser implementado como um caso especial de um modelo ARIMA, em particular, um modelo ARIMA 1,1,2. É possível calcular intervalos de confiança arou E as previsões de longo prazo produzidas por modelos exponenciais de suavização, considerando-os como casos especiais de modelos ARIMA. Cuidado, nem todos os softwares calculam intervalos de confiança para esses modelos corretamente. A largura dos intervalos de confiança depende do erro RMS do modelo, ii do tipo De alisamento simples ou linear iii o valor s da constante de suavização s e iv o número de períodos à frente que você está prevendo Em geral, os intervalos se espalham mais rápido à medida que se torna maior no modelo SES e eles se espalham muito mais rápido quando linear em vez de simples Suavização é usada Este modelo é discutido mais adiante na seção Modelos ARIMA das notas. 4 Modelos médios em movimento. Em vez de usar valores passados ​​da variável de previsão em uma regressão, um modelo de média móvel usa erros de previsão passados ​​em Um modelo de regressão. Yc et theta e teta e dots teta e. where et is white noise Nós nos referimos a isso como um modelo de MA q Claro, não observamos os valores de et, então não é realmente regressão no sentido usual. Observe que cada O valor de yt pode ser pensado como uma média móvel ponderada dos últimos erros de previsão Contudo, os modelos de média móvel não devem ser confundidos com a suavização média móvel que discutimos no Capítulo 6 Um modelo de média móvel é usado para prever valores futuros, É usado para estimar o ciclo de tendência de valores passados. Figura 8 6 Dois exemplos de dados de modelos de média móvel com diferentes parâmetros MA1 esquerdo com yt 20 et 0 8e t-1 MA 2 direito com ytet - e t-1 0 8e A Figura 8 6 mostra alguns dados de um modelo MA 1 e um modelo MA 2 Alterando os parâmetros theta1, dots, thetaq resulta em diferentes padrões de séries temporais Como nos modelos autorregressivos, a variância O termo de erro e só mudará a escala da série, não os padrões. É possível escrever qualquer modelo AR p estático como um modelo infundado MA Por exemplo, usando substituição repetida, podemos demonstrar isso para um modelo AR 1. Começam phi1y e phi1 phi1 e e phi1 2y phi1 e et phi1 3y phi1 2e phi1 e texto end. Provided -1 phi1 1, o valor de phi1 k vai ficar menor como k fica maior Portanto, eventualmente, obter. Yt et phi1 e phi1 2 e phi1 3 e cdots. an MA processo infty. O resultado inverso se mantém se impomos algumas restrições sobre os parâmetros MA Então, o modelo MA é chamado invertible Ou seja, que podemos escrever qualquer processo MA invertible como Um AR infty process. Invertible modelos não são apenas para permitir-nos a converter de MA modelos para modelos AR Eles também têm algumas propriedades matemáticas que torná-los mais fáceis de usar na prática. As restrições de invertibilidade são semelhantes às restrições stationarity. For um MA 1 Modelo -1 theta1 1.Para um modelo de MA 2 -1 theta2 1, theta2 theta1 -1, theta1 - theta2 1. Condições mais complicadas mantêm para q ge3 Novamente, R irá cuidar dessas restrições ao estimar os modelos.